了解半导体器件物理第一步，我们必须首先了解能带，了解能带是如何形成的，以及带隙一词的来源。

原子内电子的离散能级Discrete Energy Levels of Electrons Inside an Atom

我们已经了解到，电子表现出波动性，并且被限制在原子核形成的势阱内。这种限制与它们的波动性相结合，导致电子具有离散的能级，这意味着它们的能量是明确定义的，而不是任意取值。

这些离散的能级出现是因为电子只能以特定的、稳定的配置“适应”势阱，就像两端固定的绳子只能以某些特定的驻波模式振动一样。只有特定的波长——从而特定的能量——是被允许的，这些对应于驻波条件。

例如，单电子原子（如氢）中电子的能级由以下公式给出：E=13.6eV/n2，其中 n 是主量子数。前几个能级分别是：

E1=−13.58eV,E2=−3.39eV,E3=−1.51eV. 随着能级的增加（n 值越高），能量变得不那么负，表明电子与原子核的结合不那么紧密。 

值得注意的是，如果电子是自由的（不在原子内束缚），它会表现为行波而不是驻波。在这种情况下，它不会被限制在离散的能级上，而是可以拥有连续的能量范围。因此，正是这种限制导致了离散的能级。

Q：为什么电子在向更高轨道移动时能量会增加？ 当你远离原子核时，电子与原子核的结合变得不那么紧密，它们的能量就会增加。这是为什么呢？

A：电子由于质子和电子之间的静电吸引力而具有势能。势能可以被理解为“储存”的能量，或者需要多少额外的外部能量来移除或移动某样东西。第一壳层的电子紧密结合，这意味着你需要更多的外部能量才能将它们移除。当你远离原子核时，电子与原子核的结合变得不那么紧密，更容易被移除。换句话说，它们可以用少量的外部能量被移除，这表明它们已经具有更高的能量。

电子能带的形成Formation of Energy Bands of Electrons

当许多原子聚集在一起形成固体时，它们的电子波函数相互作用，导致它们的离散能级分裂——一些电子占据稍高的能量，而另一些电子占据稍低的能量。随着更多原子的结合，这些小的分裂形成了一个连续的、紧密间隔的能级，形成了一个能带。尽管能带看起来是连续的，但实际上它是由许多离散的能级组成的，这些能级如此紧密地排列在一起，以至于它们看起来无法区分。相比之下，孤立的原子具有明确的离散能级，没有这种分裂。

直观地说，如果两个原子足够接近，它们的电子仍然保持在相同的能级上，这将违反泡利不相容原理，该原理指出没有两个电子可以占据相同的量子态。因此，能级分裂，确保每个电子都有一个独特的量子态。

在半导体中，有许多能带。例如，原子的1s轨道结合形成一个能带，而2s和2p轨道形成其他能带，依此类推。在这些能带之间是被称为禁带（或带隙）的间隙，电子不能存在于这些区域。能级分裂的程度和带隙的宽度取决于材料的特性，例如其晶格结构和电子的数量。下图展示了能带分裂的简化视图。

价带和导带 

决定材料大部分电学和化学性质的两个最重要的能带是价带和导带。价带是由原子的最外层（价）电子的相互作用形成的。它代表了从单个原子的价壳层派生出的连续的能级。

然而，导带并不简单地是下一个原子壳层。它是不同的。当电子获得足够的能量，从而摆脱原子键合，能够自由移动时，就会发生导电。当这种情况发生时，我们说这些电子处于“导带”中（毕竟，能带只是一组能量，所以导带代表那些自由电子的能量）。这里的电子是离域的，意味着它们可以在整个晶体晶格中移动——它们不再被束缚在特定的原子上，而是作为材料整体的一部分。这与电离不同，电离是电子完全从材料中移除。

带隙Bandgap

价带顶部与导带底部之间的能量差称为带隙能量，记作 Eg。在绝对零度时，所有电子占据最低可用的能量态，这意味着价带完全被填满，没有导电性，因此也就没有导带的概念。在高于绝对零度的温度下，热能激发一些电子，使它们能够摆脱束缚，我们将其描绘为电子跃过带隙进入导带，从而使材料具有导电性。

我们还可以将带隙与半导体的导电性联系起来。那些具有较大带隙的材料将是不良导体，因为电子需要大量的能量才能跃过带隙。如果带隙达到 4−6eV，那么材料几乎不导电，这就是我们所说的绝缘体。硅的带隙为 1.1eV，因此它能够导电。在金属中，价带和导带重叠，允许电子导电，因此不存在“带隙”的概念。金属甚至可以在 T=0K 时导电，而半导体则不能。有趣的是，在半导体中，更高的温度通过激发更多电子进入导带而增加导电性，而在金属中，更高的温度由于电子散射而增加电阻率。

能带结构（E-k 图）Band Structure (E-k Diagrams)

实际的能带结构相当复杂，不像上面图像中导带和价带是直线那样简单。当电子在晶体晶格中移动时，它们在不同方向上会经历不同的势，因为原子的间距和排列随方向变化（因此来自周围原子核的“拉力”也不同）。

我们使用向量 k（也称为波矢）来表示电子在晶体晶格中的方向和波长，并沿着 k 绘制电子能量 E，以显示电子在特定方向上移动时能量 E 的变化。这种图被称为 E-k 图。通常会显示 k 空间中的 [100]、[110] 和 [111] 方向，因为它们代表高对称性路径，能带通常在这些路径上有特殊特征（例如，最小值、最大值或鞍点）。需要注意的是，k 空间与米勒指数（用于定义晶体内的平面）略有不同，但目的相似，即定义方向。以下是 k 空间方向的解释：

[100]：从中心（k=0，伽马点）到一个面的中心（X 点）。

[110]：从中心（k=0，伽马点）到一条边的中点（K 点）。

[111]：从中心（k=0，伽马点）到一个角（L 点）。

例如，在硅中，导带中电子的能量在 [100] 方向最低，在 [111] 方向最高。导带最小值的确切位置取决于晶体结构以及电子与晶格之间的相互作用。E-k 图在 k 空间中是周期性的，因此我们通常只在第一布里渊区（一个包含所有独特动量态的基本区域，电子可以占据这些态而不重复）内绘制它，以捕捉所有独特信息。

直接带隙与间接带隙Direct and Indirect Bandgap

当导带最小值和价带最大值在能带结构中出现在相同的动量（k-矢量）时，我们称之为直接带隙，因为这允许导带中的电子直接与价带中的空穴复合（通过发射光子）。这使得它们适用于光学应用，如发光二极管（LED）和激光器。砷化镓是一种直接带隙材料。

在间接带隙半导体中，导带最小值和价带最大值出现在不同的动量（k-矢量）值。动量的差异阻止了直接的光子发射，通常需要声子辅助（晶格振动）来转换动量。这类材料不太适用于发光或吸收活动，但它们非常适合用于电子学，因为漏电流低（因为它们不会因发光而浪费能量）。硅是一种间接带隙材料。有趣的是，它也被用于太阳能电池，尽管我们已经确定它在吸收光方面效率不高，但我们使用它是因为它价格低廉，其晶片可以制造得非常纯净，即缺陷较少，这弥补了其在光吸收方面的低效。

以上有助于我们了解能带和间隙是如何形成的，后续讲解如何计算半导体中有助于其导电性的“自由电子”的数量。