国际标准ISO 6892-1：2019的附录G（规范性附录）规定了使用单轴拉伸试验测定金属材料弹性模量的方法。该附录也给出了弹性模量测量不确定度评定的两种方法，即分别按照CWA 15261-2和附录K的方法[其中CWA 15261-2为欧盟的研讨会协议（CEW Workshop Agreenent），目前正在转化为国际技术报告]，但这两种方法评定结果相差较大，来自钢研纳克检测技术股份有限公司和钢铁研究总院分析测试研究所的高怡斐、梁新帮两位研究人员对其进行了分析与讨论。

 

1测量不确定度表示与评定

 

1.1合成标准不确定度的两类分量

 

合成标准不确定度uc包含两类分量，即通过统计方法评定得到的A分量uc,A和通过统计方法以外的其他分析方法评定得到的B分量uc,B。合成标准不确定度定义为：合成方差的正平方根。对于用附录G的方法测定的弹性模量E，其合成标准不确定度uc(E)表示为

 

 

式中：uc,A(E)为合成标准不确定度uc(E)的A分量；uc,B(E)为合成标准不确定度uc(E)的B分量。

 

对于弹性模量E的合成标准不确定度，其A分量评定的信息来源于最小二乘法线性回归统计，其B分量评定的信息来源于测量设备和仪器的准确度级别，以及试验方法标准规定的相关测量误差要求等。

 

1.2弹性模量合成不确定度A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

弹性模量的合成标准不确定度其A分量评定根据最小二乘法线性回归统计获得。回归模式不同，统计评定方式有所不同，对于弹性模量来说，回归模式可以采用线性应力-应变模式，或者线性力-延伸模式。

 

1.2.1 线性应力-应变模式A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

ISO 6892-1：2019附录G给定了线性应力-应变回归模式：

 

 

式中：R为应力；e为应变；E为直线斜率（弹性模量)；b为截距。

 

按照式（2）给定的回归模式，需要获取数据对{(ei,Ri),i=1,2,3,…,n}（ei和Ri分别为应变和应力）。但拉伸试验中不能够直接测量应变和应力这两个量值，而直接能测量的量是延伸Δ和力F。这就需要将直接测得的数据对（Δi,Fi）的延伸值Δi和力值Fi分别除以引伸计标距Le和试样原始横截面积S0变换为数据对（ei,Ri）。为此，拉伸试验时，要在弹性范围内同时刻测量延伸Δi和力Fi并转换成数据对（ei,Ri），然后采用最小二乘法线性回归，得到式（2）表示的回归直线，直线的斜率E即为弹性模量，按照下式计算：

 

 

式中：n为数据对（测点）的数目。

 

为了评定弹性模量的合成不确定度A分量，需要获知回归的标准偏差s，按照下式计算：

 

 

弹性模量的合成不确定度A分量按照下式计算：

 

 

弹性模量的合成相对不确定度A分量按照下式计算：

 

 

1.2.2 线性力-延伸模式A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

对于线性力-延伸回归模式，线性方程模式为

 

 

式中：F为力；Δ为延伸；k为直线斜率；c为截距。

 

式（10）中直线斜率k按照下式计算：

 

 

为了评定弹性模量的合成不确定度A分量，需要获知回归的标准偏差′s，按照下式计算：

 

 

回归的F~Δ直线斜率k的标准偏差和相对标准偏差分别按照下式计算：

 

 

由于标准不确定度等于标准偏差，因此式（16）和式（17）实质分别为斜率k的合成标准不确定度和合成相对标准不确定度的A分量，这样就可按照下式计算：

 

 

利用附录A导出的关系，可以得到弹性模量合成标准不确定度和合成相对标准标准不确定度的A分量：

 

 

 

1.3弹性模量的合成标准不确定度B分量的表示

 

弹性模量的合成标准不确定度B分量评定的信息源于测量设备和仪器的准确度级别，以及试验方法标准规定的相关测量误差要求等，高怡斐、梁新帮两位研究人员通过以下这些信息和分析进行评定。

 

当输入量和输出量通过函数f相联系时，即

 

 

而且当输入量xi之间相互独立时，输出量y的合成标准不确定度表示为

 

 

弹性模量定义为弹性应力-应变直线的斜率，表示为

 

 

根据式（23）和式（24），弹性模量的合成标准不确定度B分量uc,B可以表示为

 

 

将式（25）两边除以E便得到合成相对不确定度B分量，表示为

 

 

1.4弹性模量的合成标准不确定度和合成相对标准不确定度表示

 

1.4.1 弹性模量的合成标准不确定度

 

将式（9）和式（25）代入式（1）便得到合成不确定度uc(E)

 

 

式中：uc,A,rel(E)为弹性模量的合成相对标准不确定度的A分量，urel(F)为由测力系统（传感器）误差引起的相对标准不确定度分项；urel(Δ)为由测延伸系统（引伸计）误差引起的相对标准不确定度分项；urel(Le)为由引伸计标距误差引起的相对标准不确定度分项；urel(S0)为由原始横截面积测量误差引起的相对标准不确定度分项。

 

当回归的是力-延伸（F-Δ）直线，这时A分量见式（21）。

 

1.4.2 弹性模量的合成相对标准不确定度

 

将式（27）两边除以弹性模量E即得到合成相对标准不确定度，表达式：

 

 

1.5扩展不确定度表示

 

扩展不确定度一般表示为

 

 

式中：Up为给定概率p的扩展不确定度；kp为给定概率的包含因子；uc为合成标准不确定度。

 

概率p一般采用99%和95%。多数采用95%，包含因子k95取值为2，于是扩展不确定度为

 

 

如果合成标准不确定度为合成相对标准不确定度uc,rel，式（29）表示为

 

 

报告扩展不确定度时要注明包含因子k=2。

 

2弹性模量不确定度评定举例

 

2.1弹性模量的合成相对标准不确定度的A分量uc,A,rel(E)评定

 

2.1.1 数据来源

 

以下计算的数据取自文献中的附录G。引伸计标距Le为50mm，原始横截面积S0为78.5mm2，力-延伸曲线斜率（线弹直线段）k为293.07kN·mm-1，力-延伸曲线斜率（线弹直线段）的标准不确定度A分量为uc,A(k)为0.064kN·mm-1，弹性模量E为186.7GPa。

 

2.1.2  A分量uc,A,rel(E)的计算

 

按照式（21）计算uc,A,rel(E)=uc,A(k)/k=0.064/293.7=0.02%。

 

2.2弹性模量的合成相对标准不确定度B分量的相关分项计算

 

2.2.1测力误差引起的相对标准不确定度分项urel(F)

 

文献中的附录G规定：拉伸试验机的测力系统应符合国际标准ISO 7500-1的1级，该级允许误差为±1.0%。这一误差是不确定度来源之一，为了将此误差量化转换成标准偏差（即标准不确定度），需要知道F取值的分布和包含因子k， 如果不知道，一般把其近似为均匀分布（矩形分布），包含因子

 

 

由这误差引起的标准不确定度量化为，量F分散区间半宽度a除以包含因子k，即urel(F)=

 

 

2.2.2 测延伸误差引起的相对标准不确定度分项urel(Δ)

 

文献中的附录G规定：引伸计系统应符合国际标准ISO 9513：1999的0.5级，该级允许误差为±0.5%或±1.5μm。因为在测定金属材料弹性模量试验中，测量的延伸量很小，必须采用绝对误差值±1.5μm。按照文献中的附录G确定相对误差的方法是：应力增量ΔR=200MPa，弹性模量E=200GPa，引伸计标距Le=50mm，产生延伸Δ=0.05mm=50μm。那么，按照前述的允许绝对误差±1.5μm折合成相对误差为±3%。量Δ取值分布近似视为均匀分布，取

 

 

引起的相对标准不确定度

 

 

2.2.3 引伸计标距误差引起的相对标准不确定度分项urel(Le)

 

文献中的附录G规定：引伸计系统应符合国际标准ISO 9513：1999的0.5级，对于这一级别，引伸计标距允许误差为±0.5%。Le取值分布近似视为均匀分布，

 

 

引起的相对标准不确定度

 

 

2.2.4 试样横截面积误差引起的相对标准不确定度分项urel(S0)

 

试样原始横截面积S0不是直接测量得到，对于圆形横截面试样，试验前测量其横截面直径d，原始横截面积测量不确定度应为

 

 

根据文献中的附录G的G.3.1.4款规定测量试样尺寸的装置其测量准确度应优于±0.5%，该误差引起尺寸测量的相对不确定度为urel(d)=a/k，将其代入式（32）并且表示为绝对不确定度，则

 

 

值得注意的是，文献中的附录G中，表G.1和式（G.5）对应于这分项不确定度，没有除以根号3，这是错误的。

 

2.3弹性模量的合成相对标准不确定度uc,rel(E)

 

将上述数据代入式（28）计算弹性模量的合成相对标准不确定度uc,rel(E)=

 

 

2.4弹性模量的合成 （绝对）标准不确定度uc(E)

 

弹性模量的合成（绝对）不确定度可以首先按照式（28）计算得其相对值，然后用E乘以该值得到，即

 

 

 

2.5弹性模量的扩展不确定度U95,rel

 

将uc,rel(E)的值代入式（31）得到U95,rel=2×1.9%=3.8%（k=2）。

 

2.6测量结果报告

 

当给出完整的弹性模量测量结果时，一般应给出弹性模量的测量不确定度，有多种表达形式。文献中的附录G采用给出真实值所在区间的形式，不确定度的单位与测量值相同，有效数字一般取不多于两位。因此，上述结果报告为E=（186.7±7.1）GPa（k=2）。

 

3讨论

 

3.1用文献中附录G的式（G.4）评定弹性模量不确定度偏小的原因

 

文献中给出了弹性模量合成不确定度评定的两种方法，即按照附录K的方法和文献中给定的方法，为了简便，前者称为方法A；后者称为方法B。

 

3.1.1 与方法A比较

 

弹性模量的合成相对标准不确定度uc,rel(E)=1.9%，这与用文献中附录G的式（G.7）得到的结果相同。

 

弹性模量的扩展不确定度U95,rel=3.8%（k=2），这与附录G的式（G.8）给出的结果相同。

 

3.1.2 与方法B比较

 

文献中附录G的式（G.4）给出弹性模量合成标准不确定度计算公式为

 

 

将数据代入式（33）计算得到uc(E)=1.2GPa。

 

将其表示为相对标准不确定度，即uc,rel(E)=1.2/E=0.64%，这与之前计算的1.9%的结果相差较大。

 

其扩展不确定度U95=2.4GPa，和U95,rel=1.3%。分别与之前的3.55GPa和3.8%相比，相差也较大。

 

上述的计算结果比较表明，方法B得到的结果明显偏小，其原因在于方法B给定的式（33）遗漏了影响较大的两项不确定度分项，分析如下。将弹性模量定义式[即式（24）]表示为

 

 

式中：k=F/Δ。

 

这样函数关系就可表示为

 

 

根据式（34），写出合成方差为

 

 

式（36）右边第1项的u2(k)是斜率k的方差，其由A分量和B分量合成，表示为

 

 

将式（37）代入式（36）并取等式两边的正平方根，得到弹性模量的合成不确定度，表示为

 

 

现在将式（38）和式（33）进行比较，可知后者式右边根号内缺少了方差u2(F)和方差u2(Δ)这两主要项，致使力和伸长测量误差引起的不确定度被缺失，所以其合成不确定度评定值显著偏低。

 

利用式（24）可以将式（38）简化为

 

 

为了表示成相对不确定度形式，将式（39）两边除以弹性模量E，并利用式（21）把根号内第1项做替换得到：

 

 

可见式（40）即为式（28）。

 

3.2对延伸相对误差确定方法的建议

 

引伸计准确度级的选定，也就给定了允许的相对误差值δ，但是延伸测量范围Δ如何确定，这就要考虑弹性模量、引伸计标距、评定弹性模量的应力上限等因素。因此，建议相对误差延伸测量范围按下式计算

 

 

式中：ε为相对误差；δ为引伸计准确度级允许的绝对误差；Δ延伸测量范围；ReH为上屈服强度。

 

式（41）中的0.4ReH应力上限取文献中的附录G中规定的经验值。例如，引伸计符合ISO 9513：1999规定的0.5级，δ=±1.5μm，标距Le=50mm，上屈服强度ReH=500MPa，测定的弹性模量E=186.7GPa，那么计算得到的相对误差ε=±2.8%。

 

4结论

 

(1) 给出了（拉伸试验测定）的弹性模量合成标准不确定度的一般性表示式和实例评定结果，采用文献中的附录G的式（G.4）评定弹性模量的合成不确定度，其值显著偏小，原因在于公式中缺失了两个主要分项，即缺失测力设备准确度级所允许的误差而引起的不确定度分项和延伸测量仪器准确度级所允许的误差而引起的不确定度分项。

 

(2) 建议补充测力设备准确级所允许的误差而引起的不确定度分项和延伸测量仪器准确度级所允许的误差而引起的不确定度分项，国际标准ISO 6892-1：2019的附录G的式（G.4）修改为

 

 

(3) 按照文献中附录K的原则评定是正确的，建议增加合成相对标准不确定度表示式，即