来源：小小搬砖狗微信公众号，作者：罗敏强。

首先介绍两个名词的概念。强度，是指物体抵抗破坏的能力，常用的强度性能指标为拉伸强度与屈服强度；刚度，是指物体抵抗变形的能力，用弹性模量E 来衡量。

任何固体在受到力的作用时，都会发生变形，这是材料力学研究的第一个大前提，针对变形的固体，又有以下四个假设来保证理论的成立。

• 连续性假设：即认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质。这是为了保证固体没有内部缺陷，从而在分析计算时，不需要另外考虑由于固体内部的缺陷而导致的受力不均等问题。

   

• 均匀性假设：即认为物体内的任何部分，其力学性能相同。这是为了保证物体在受力时，各个部位传递力及强度、刚度相同，从而保证分析的连线性。

   

• 各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同。这样的规定保证了材料的线性，从而便于分析。

   

• 小变形假设：认为构件的变形极其微小，比构件本身尺寸要小得多。保证几何学的线性，不需要进行复杂的几何变换，降低了分析计算难度。

对于车辆的疲劳分析来说，最主要的还是杆件（车身部品是板件，但多考察其焊点处及部品安装部的疲劳，因此，可类似于杆件的受力情况来进行分析），而杆件的受力形式主要是下图中所示的拉伸压缩、弯曲、扭转、剪切这几种。

图1 杆件载荷形式

由于拉伸与压缩时的受力情况类似，下面仅以拉伸一种情况来讨论这两种受力。

图2 杆受拉力图

如上图所示为一个受拉伸力的杆件，其受大小为F 的力拉伸后，轴向长度由l 变为l0，直径由d 变成d0，至此引入线应变（正应变）的概念，线应变（轴向）为物体受力后的伸长量与原长度的比值，即

同时，径向的应变为

引入泊松比μ，泊松比定义为径向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。表达式为：

汽车上常用几种材料的泊松比参考值为：碳钢 (0.24~0.29)，铸钢 (0.3)，合金钢 (0.25~0.3)，轧制钢 (0.31~0.34)，橡胶 (0.47)。

讲到拉伸压缩，还要介绍一个大家都很熟悉的定律：胡克定律，也就是经常说的弹性定律。其用方程式表达如下：

即在弹性范围内，物体在力作用下所发生的变形与力的大小成正比。

物体在受到拉伸力后，其内部受到的力即为应力，应力定义为单位面积上所承受的附加内力。应力有正应力和切应力之分，正应力为与受力平面垂直的应力，切应力为沿着受力平面切线方向的力。例如，回到图2，如果分析 ab 平面，则在整个平面内只有正应力，根据材料力学分析的连续性假设，则可知在整个 ab 平面上各点的应力大小是相同的，可知正应力的表达式为

式中，A 为 ab 平面的面积，但如果分析与 ab 平面呈β 角的 cd 面，根据正应力与切应力的定义，可知此时的正应力与切应力的表达式分别为

正应力与应变之间的比例系数定义为弹性模量（也叫杨氏模量）E，则有

既然正应力与应变之间有弹性模量的系数，那么剪切应力与剪切应变有没有相应的系数呢，是有的！在讨论正应力时提到了线应变，而用于描述剪切应力的应变为角应变，为什么要这样做呢，原因可以从剪切应力对物体的破坏形式来分析，如下图所示为图1中物体受剪切力时的受力分析。

由受力分析可知，当物体受到剪切力时，力的破坏形式是使物体发生错位变形，反映到某一平面上，即为平面发生了角度偏移，图中的γ 定义为剪切应变，即在力作用下单位面积内角度的变化量。同样剪切应变与切应力之间也存在比例关系，比例系数称为剪切模量G，也叫切变模量，其表达式为

剪切模量与弹性模量之间存在如下关系

以上的分析是基于物体在拉伸及压缩过程中变形较小，因而在计算应力过程中，始终认为受力面的面积及杆件长度不变，这种情况下计算出来的应力及应变称为名义应力及名义应变。而我们知道，在杆件变形过程中，受力面的面积及杆件的长度也是随之发生变化的，当变形较小时，近似认为变形前后面积及长度相等，误差较小，可以接受；但当变形较大时，试件的几何尺寸会发生明显改变，此时再近似进行计算，将导致较大误差。因此，对于大变形的情况，需要采用真应力及真应变来准确描述材料的特性。

真应力及真应变的计算方法，即用当前实时的横截面面积及杆件长度l0 来进行计算的，则真应力计算公式为

真实应变的计算公式为

材料在拉伸过程中的力学性能用应力与应变的关系曲线来描述，也就是经典的四阶段曲线，如下图所示。

• 弹性阶段（ob 段）：a 点处应力为比例极限，b 点处应力为弹性极限，这个阶段的应力与应变呈线性关系，符合胡克定律。

   

• 屈服阶段（bc 段）：c 点处应力为屈服极限，这个阶段，材料逐渐失去抵抗变形的能力，在屈服点之后，应力与应变曲线通常稍微下降一点。

   

• 强化阶段（ce 段）：e 点处应力为强度极限，这个阶段，抵抗变形的能力恢复，这是由于应变硬化作用，应变继续增加，直到极限拉伸应力。在到达极限拉伸应力之前，由于泊松比的限制，试件的横截面积均匀缩小，在材料发生哪儿不匹配后，任何时刻卸去所施加的外力，应力会沿线性路径下降到零，当应力回到零时，剩余的应变就是塑性应变。如果试件重新施加外力，材料会出现弹性变形，直到达到前一次卸载时的应力水平，而后应力应变关系将随着外力的进一步施加而再一次变成非线性关系。这也就相当于在重新加载过程中，材料的比例极限上升了，这种现象称为冷作硬化。

   

• 局部颈缩阶段（ef 段）：在达到强度极限后继续施加载荷，试件的变形将变得不稳定，变形开始集中于一个很窄的区域，随着力的继续施加，当缩颈达到一定极限后，试件将发生断裂。

当材料发生断裂后，断后伸长率定义为试件断后长度的增长量与原长的比值，大于5%的称为塑性材料，低于5%的称为脆性材料。对于某些韧性较差的塑性材料或脆性材料，往往没有明显的屈服阶段，因此也就没有明确的屈服点。对于这些材料，通常用0.2%残余变形的应力值为其屈服极限，称为条件屈服极限。具体做法为，在应力应变横坐标应变为0.2%的地方，画一条斜线，斜率为弹性模量，斜线与曲线的交点即为屈服点，这个数据经常用于铝制品、中高碳钢，有时候也适用于低碳钢。

受到弯曲作用的杆件称作为梁，存在以下几种静定梁形式。

在分析纯弯曲的正应力时，基于以下假设：横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。梁可以看作是无数层纵向纤维平面组成，当梁受到弯曲扭矩时，纤维长度不变的平面称为中性面，中性面横截面的交线称为中性轴。

下面介绍弯曲正应力的求法。建立如图所示的坐标轴，图中oo 与o‘o’ 为中性面，则其再变形前后的长度均为dx=ρdθ，而变形后bb 的长度、b'b' 的长度变为 (ρ+y)dθ，可知应变为ε=y/ρ，应力为σ=Ey/ρ，式中y 值是容易得到的，但曲率半径ρ 是不能直接得到的，因此有必要将其转换为容易得到的参数。

观察受弯矩的平面，由静力学平衡可知，在整个平面内正应力产生的抵抗弯矩与所受到的弯矩相等，建立方程为

则得到

式中，IZ=∫Ay²dA 称为截面系数，则正应力方面变成

由上式可知：正应力大小与其到中性轴距离成正比，中性轴上，正应力等于零。几种常见形状的截面系数如下图所示

• 梁的跨度较短（长高比小于5）；

   

• 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支点）；

   

• 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、胶合面或铆钉等）；

   

• 弯曲切应力的求法可参照本文参考文献中的内容进行学习。

细化成下图所示的详细变形情况，在变形微小的情况下，有如下假设成立：圆弧的长度与该圆弧两点间的距离相等，挠角小时，在微小单元中，沿y 轴方向的变形与沿x 轴方向变形的比例等于挠角。

则由图可建立以下方程式

又，M=EIZ/ρ，得到挠曲线微分方程为

实际应用过程中，配合固定点处的初始条件，即可得到挠曲线的表达式。

扭转的受力及变形特点是，杆件受到大小相等，方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。

受扭转力矩作用的一般为旋转部件，轴所受的扭矩与输入功率及转速的关系为

由此可看出，在功率相同情况下，随着转速升高，扭矩是减小的。

下面来计算扭转应力，下图为轴受扭矩时的变形图。

由图可知有下式成立

得出距圆心处的切应变为：

则切应力为：

又根据下图所示建立静力学关系

得到

即切应力在径向的分布是与半径成正比的，在圆心处为零，这样也解释了为什么有些仅受扭矩的零件是空心的，因为在靠近圆心处，零件所承受的切应力很小，即使将这部分切去，也对轴的抗扭变形能力影响不大，但是却能节省材料。

参考文献：

刘鸿文. 材料力学第5版[M]. 高等教育出版社.2011.

苏旭明，郑鑫，李大永.汽车设计的耐久性分析[M].机械工业出版社.2016